В каком случае применяют дискретное управление. Дискретные алгоритмы управления и дискретная коррекция. Дискретные системы автоматического управления

ЧТО ТАКОЕ ДИСКРЕТНО-ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ?

Сначала очень коротко о пропорциональной команде. Если положение какого-либо исполнительного механизма на модели, например руля катера, меняется по закону изменения положения рычага управления передатчика, то говорят, что модель выполняет пропорциональную команду оператора. Чаще всего, и это естественно, зависимость положения исполнительного механизма от положения органа управления делают линейной (прямо пропорциональной).

В пропорциональной аппаратуре, как правило, используют широтно-импульсную модуляцию (ШИМ). Ширина модулирующих командных импульсов в передатчике изменяется при изменении положения рычага управления. Демодулятор модели вырабатывает сигнал, перемещающий рабочий орган исполнительного механизма в соответствии с шириной модулирующих импульсов принятого ШИМ сигнала.

В ряде случаев выгодно (с точки зрения простоты и стоимости аппаратуры радиоуправления) использовать для управления конкретной моделью дискретно-пропорциональное управление. Так, например, для включения, выключения и реверсирования (изменения направления вращения ротора) электродвигателей модели вполне достаточно только дискретных команд, а для управления рулевым механизмом необходима пропорциональная команда. Движение такой модели гораздо более естественно, она более маневрена, управлять ею намного легче и приятнее. Шифратор дискретно-пропорциональной системы управления построен таким образом, что он способен формировать одновременно как дискретные, так и пропорциональную команды. О таком шифраторе и пойдет дальнейший рассказ.

МОДУЛЬ ДИСКРЕТНО-ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Его схема представлена на рис. 1. Предположим, что при включении напряжения питания движок переменного резистора R3 и подвижный контакт переключателя SA1 находятся в среднем положении. На инвертирующем выходе (вывод 2) триггера DD3 появляется высокий уровень (рис. 2,в), который разрешит прохождение на базу транзистора VT1 только импульса, поданного на объединенные два верхних по схеме входа элемента DD4.2.

Рис. 1. Принципиальная схема дискретно-пропорционального шифратора

Через некоторое время импульсы тактового генератора (он собран на элементах DD1.1 и DD1.2) начнут поступать на вход восьмиразрядного сдвигового регистра DD2.1, DD2.2 и на верхний вход элемента DD4.2. На выводах регистра будет поочередно появляться уровень 1. Высокий уровень с выхода 3 регистра DD2.1 (рис. 2,б) запустит одновибратор, собранный на элементах DD1.3,DD1.4, на выходе инвертора DD4.3 появится положительный импульс, который достигнет базы транзистора VT1 (рис. 2.д). Длительность этого импульса зависит от положения движка переменного резистора R3. Эта часть выходного сигнала и будет пропорциональной командой.

Рис. 2. Временные диаграммы работы модуля М4.

Как только на выходе 4 регистра DD2.2 возникнет высокий уровень, оба регистра возвратятся в исходное состояние и на прямом выходе триггера DD3 уровень изменится с 0 на 1 (рис. 2,г). Это означает, что элемент DD4.1 готов пропустить тактовые импульсы на выход. На выход пройдут пять импульсов - с 11-го по 15-й команды "Стоп" (рис. 2, д). С 16-го тактового импульса весь рассмотренный процесс по формированию пропорционального импульса и сигналов команды "Стоп" вновь повторится.

Если в процессе работы шифратора оператор станет изменять положение движка переменного резистора R3, то длительность пропорционального импульса будет изменяться. При перемещении движка резистора R3 вправо по схеме длительность будет увеличиваться. При крайнем правом положении движка длительность сигнала одновибратора равна 10 мс, при среднем - 6 мс, а при крайнем левом - 2 мс. Резистор R2 ограничивает минимальную длительность импульса. При изменении длительности импульса одновибратора перемещается спад импульса, а не его фронт.

В положении 1 переключателя SA1 в каждой группе будет по четыре тактовых импульса, что соответствует команде "Вперед", в положении 3 в группе будет три импульса - команда "Назад".

В качестве переключателя SA1 в шифраторе использован МПН-1; годится и любой другой малогабаритный на три положения и одно направление. Переменный резистор RЗ-СПО-0,5 группы А.

Для налаживания модуля осциллограф подключают к КТ1, включают напряжение питания модуля и подборкой резистора R2 (движок переменного резистора R3 должен быть в левом по схеме положении) добиваются длительности пропорционального импульса 2 мс. Переводят движок резистора R3 в правое положение и проверяют максимальную длительность импульса. После этого убеждаются в соответствии числа импульсов в группе во всех трех положениях переключателя SA1.

МОДУЛЬ ДИСКРЕТНО-ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДЕШИФРАТОРА

Конечно же, постоянное "улавливание" нужного курса яхты, неизбежное при дискретном управлении рулем, как это описано в предыдущем разделе, весьма утомительно для оператора. Поэтому вполне естественно стремление управлять рулем пропорционально, а для управления ходом вперед и назад достаточно дискретных команд. Такой шифратор - М4 - был уже нами рассмотрен, а сейчас расскажем о дешифраторе к нему. На рис. 3 показана его принципиальная схема. Рассмотрим процесс дешифрации команд на примере команды "Стоп" и пропорционального импульса управления рулем.

Рис. 3. Принципиальная схема дискретно-пропорционального дешифратора.

В исходном состоянии (при отсутствии входных импульсов) на всех выходах регистров DD3.1, DD3.2, DD5.1, DD6.1, DD6.2 будет уровень 0, что соответствует команде "Стоп". Поскольку положение руля модели соответствует положению движка резистора R5 (движок резистора механически связан с рулевой машинкой), допустим, что они находятся в среднем положении - "Руль прямо".

Вот на выходе инвертора DD1.1 появился первый пропорциональный импульс (рис. 4,а). Он запустит одновибратор, собранный на элементах DD1.2, DD1.3, и поступит на счетный вход С регистров DD3.1, DD3.2, а также на верхний по схеме вход элемента DD2.2. Так как в этот момент на втором входе этого элемента будет уровень 1, то импульс через элемент не пройдет. В момент окончания импульса уровень 1 появится на выходе 1 регистра DD3.1.

Через время 5Т (рис. 4,б) на выходе одновибратора (выход элемента DD1.3) появится уровень 1, и регистр DD3.1 установится в исходное состояние.

Рис. 4. Временные диаграммы работы модуля M16.

Затем на выходе инвертора DD1.1 появятся сигналы команды "Стоп", первый из которых снова запустит одновибратор DD1.2, DD1.3. Импульсы команды вызовут поочередное появление уровня 1 на выходах регистров DD3.1, DD3.2. Уровень 1 с выхода 3 регистра DD3.1 (рис. 4, в) вызовет появление высокого уровня на выходе 1 регистров DD5.1, DD6.1, тем самым даст разрешение на прохождение канального импульса через элемент DD2.2. Через время 5Т по фронту сигнала первого одновибратора (рис. 4,б) регистры DD3.1, DD3.2 установятся в исходное состояние.

Появившийся на выходе элемента DD2.2 положительный пропорциональный импульс запустит на этот раз и второй одновибратор, собранный на элементах DD4.2 и DD4.3. Длительность его импульса зависит от емкости конденсатора С3 и сопротивления резисторов R3, R5. Если предположить, что импульс этого одновибратора точно равен по длительности входному пропорциональному импульсу, то на крайних выводах резистора R4 будут действовать противофазные, но одинаковые по амплитуде и длительности импульсы (рис. 4, д, е). Поэтому на выходе-на выводе 55 модуля - появится постоянное напряжение, равное половине напряжения питания, т. е. сигнал рассогласования отсутствует.

Если же длительности будут разными, на выводе 55 появится сигнал рассогласования той или иной полярности, в зависимости от того, длиннее или короче будет входной пропорциональный импульс. Двигатель рулевой машинки будет вращаться в ту сторону и до тех пор, пока движок резистора R5 не займет положение, при котором сигнал рассогласования станет равным нулю.

В момент окончания пропорционального импульса узел, собранный на элементах DD2.3 и DD2.4, выработает короткий импульс (рис. 4, ж), который переведет регистр DD5.1 в исходное состояние (уровень 0 на выходе 1). Это означает, что элемент DD2.2 закрыт. Через время 5Т регистры DD3.1, DD3.2 возвратятся в исходное состояние.

Затем на вход модуля придет вторая группа команды "Стоп" и весь рассмотренный процесс повторится.

Предлагается самостоятельно рассмотреть процесс дешифрации команд "Вперед" и "Назад" как без помех, так и с ними. При этом следует учесть, что управляющее напряжение первой команды появляется после четвертой группы на выводе 53 модуля, а второй - 54.

В заключение отметим, что сигналы команд "Стоп", "Вперед" и "Назад" одновременно служат синхроимпульсами пропорциональных импульсов.

Резисторы R3, R4 в модуле-СПЗ-1. В качестве резистора R4 в рулевой машинке используется резистор от аппаратуры "Супронар".

При синтезе модального дискретного управления обычно предполагается, что объект управления (ОУ) задан своими уравнениями в переменных состояния, например, вида

где элементы матрицы A и векторов b и c имеют известные численные значения.

Однако при модальном управлении, в отличие от схемы, изображенной на рис. 2, в ЦВ вместо кодов управляемой переменной поступают формируемые АЦП также с периодом T коды, соответствующие значениям всех переменных состояния, ОУ, которые измеряются специальными датчиками.

Дискретное модальное управление, по аналогии с непрерывным, ищется в виде

Коэффициенты необходимо выбрать таким образом, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы (4), (5) имели заданные значения.

Управление (5) является идеализированным в том смысле, что оно не учитывает указанных выше затрат времени в управляющем устройстве на измерение и преобразование сигналов, а также на расчет управления. Следовательно, управление (5), как отмечалось выше, можно применять, если указанные затраты времени, по крайней мере на порядок, меньше периода квантования T , и их влиянием на свойства системы управления можно пренебречь.

Для вывода соотношений, позволяющих вычислить значения коэффициентов в равенстве (5), найдем уравнение дискретной системы с модальным управлением. Для этого подставим равенство (5) в уравнение (4). В результате будем иметь

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (6) определяется выражением

С использованием свойств определителей правую часть этого равенства можно представить так

Характеристический полином заданного объекта управления (4). При этом полином имеет степень и содержит ровно n произвольных коэффициентов,

Степень характеристического полинома замкнутой системы также равна т.е. равна числу варьируемых коэффициентов в управлении (5). Поэтому выбором этих коэффициентов можно обеспечить любые заданные значения корней характеристического полинома (8) или (9).

В общем случае это можно осуществить, если объект (4) является полностью управляемым, т. е. если, где матрица. При этом процедура расчета коэффициентов из (5) полностью аналогична этой процедуре в непрерывном случае (см. § 7.2).

В частности, если заданное уравнение (4) объекта представлено в канонической управляемой форме , то полином

В этом случае коэффициенты в соответствии с выражениями (9) - (11) определяются по формулам

где - коэффициенты желаемого полинома, корни которого равны заданным (желаемым) полюсам замкнутой системы.

Пример 1. Для объекта

найти управление (5), при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы будут равны, .

Решение. Прежде всего, отмечаем, что в данном случае уравнение объекта представлено в канонической управляемой форме, поэтому коэффициенты его характеристического полинома равны; , а корни, . Так как один из корней больше единицы по модулю, то заданный объект без управления является неустойчивым. Поэтому модальное управление должно быть стабилизирующим.

Желаемый полином, корни которого равны заданным, очевидно, имеет вид

В данном случае уравнение объекта представлено в канонической управляемой форме, поэтому по формулам (12) находим

Следовательно, искомое модальное управление определяется выражением

Проверим полученный результат. Подставляя найденное управление в уравнение (13) при, получим

Отсюда следует, что характеристический полином синтезированной системы равен

Таким образом, при найденном управлении корни характеристического уравнения (полюсы) замкнутой системы имеют заданные значения, т. е. качество процесса управления соответствует заданным полюсам.

6.1. Общая характеристика дискретных систем

Дискретные системы отличаются от непрерывных систем тем, что сигналы в одной или нескольких точках таких систем представляют собой последовательность импульсов или цифровой код. В литературе к таким системам применяются еще термины: «импульсные системы», «цифровые системы» .

Дискретные сигналы (импульсы, цифровой код) получаются из непрерывных (аналоговых) сигналов квантованием по уровню (релейные системы), по времени (импульсные системы) или одновременно и по уровню, и по времени (цифровые системы) .

Системы, в структуре которых используются цифровые устройства, контроллеры, микропроцессоры, вычислительные комплексы, являются дискретными. Примерами дискретных систем управления являются системы, использующие в контуре управления цифровые регуляторы. Непрерывный сигнал, поступающий на вход такого регулятора, преобразуется в последовательность импульсов. Эта последовательность в соответствии с законом регулирования преобразуется в другую последовательность, которая превращается в непрерывный сигнал регулятора.

Непрерывная система с цифровым регулятором:

в

регулятор

где: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь;

ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.

Цифровая система управления:

ЭВМ (Устройство управления)

Управляемый процесс

Примеры дискретных систем: система управления движением робота, система автономного слежения за целью, автопилот, цифровой контроллер турбины и генератора, радарные системы и др.

Дискретные системы обладают следующими преимуществами по сравнению с непрерывными системами:

повышенной чувствительностью;

меньшими габаритными размерами и массой;

удобством программирования.

6.2. Математические модели линейных дискретных систем

Модели состояния дискретной системы

Математические модели дискретных систем описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени t k , k = 0, 1, 2,…. .

Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t) и координат состояния x(t) являются последовательности:

{u(t k)},{y(t k)},{x(t k)}.

Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями.

Дискретные системы содержат в своей структуре цифровую (дискретную) и непрерывную (аналоговую) части. Для согласования этих частей в системе используются: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь и ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь.

Преобразователь «аналог - цифра» - идеальный импульсный элемент, ставящий в соответствие непрерывной функции f(t) при t ≥ t 0 последовательность: {f(t k), k = 0, 1, 2,….} = f * (t).

Преобразователь «цифра - аналог» осуществляет преобразование последовательности: {f(t k), k = 0, 1, 2,….} в некоторую непрерывную функцию f ^ (t), которая является аппроксимацией исходной:

f ^ (t) ≈ f(t) , t ≥ t 0

Наиболее часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию (такой преобразователь называется экстраполятором или фиксатором нулевого порядка).

Построение дискретного представления непрерывной системы называется дискретизацией (квантованием).

Пусть линейная непрерывная стационарная система n-го порядка представлена своей внутренней моделью :

X’(t) = A * X(t) + B * U(t)

Предположим, что все переменные квантуются синхронно с постоянным шагом: ˅k, tk +1 – t k = h

Поэтому: t k = k h, k = 0, 1, 2,….

При этом обозначения эквивалентны:

x(t k) = x(kh) = x(k) = x k

В общем случае на текущий момент времени t для непрерывной системы (A,B,C), которая движется из начального состояния x(t k), можно записать в форме Коши:

Так как преобразователь «цифра - аналог» является фиксатором нулевого порядка, то на любом интервале ,

f[(k-2)T],…, f(0).

Метод получения требуемой аппроксимации основан на разложении f(t) в ряд на интервале между моментами выборки kT и (k+1)T:

f k (t) = f(t) для kT ≤ t < (k+1)T

Оценка первой производной f(t) в момент t = kT равна:

Аналогично для второй производной f’’(kT) запишем:

где: f’[(k-1)T] = 1/T [ f[(k-1)T] – f[(k-2)T] ]

Из полученных выражений для f’(kT) и f’’(kT) видно, что чем выше порядок производной функции, которую нужно аппроксимировать, тем требуется большее число предшествующих выборок. Так для аппроксимации значения f n (kT) число предшествующих выборок равно n+1.

На практике используется только первое слагаемое выражения (10), так как экстраполяция (восстановление) высокого порядка затратна при реализации устройств и требует сложных схемотехнических решений.

Устройство, в котором реализовано только слагаемое f(kT) из выражения (10) для временного интервала kT ≤ t < (k+1)T называют экстраполятором (фиксатором: оно фиксирует значение предыдущей выборки в течение периода квантования до следующей выборки) нулевого порядка (используемый полином имеет нулевой порядок).

Устройство, использующее два слагаемых выражения (10) называется фиксатором 1-го порядка и т.д.

Для фиксатора нулевого порядка:

Переходная функция фиксатора нулевого порядка равна:

h(t) = 1(t) – 1(t-T), где Т – период квантования.

Передаточная функция фиксатора нулевого порядка определяется:

Выходной сигнал фиксатора нулевого порядка является ступенчатой аппроксимацией непрерывного сигнала, при этом с увеличением частоты (уменьшением периода) квантования повышается точность этой аппроксимации.

Использование Z -преобразования

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем.

Преобразование Лапласа квантованного сигнала определяется выражением:

Функция F*(s) является иррациональной, поскольку содержит множитель e - Ts . Из-за этого множителя возникают трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Поэтому для преобразования функции F*(s) в рациональную функцию комплексную переменную s заменяют на комплексную переменную z: z = e Ts . Тогда:

Для любой функции f(t), имеющей преобразование Лапласа, существует также Z-преобразование.

Преобразование Лапласа и его обратное преобразование являются однозначными, для Z-преобразования обратное Z-преобразование не является однозначным.

Корректным результатом обратного Z-преобразования функции F(z) является функция f(kT), которая равна функции f(t) только в моменты квантования t = kT.

Основные свойства Z-преобразования (без доказательств)

Суммирование и вычитание:

Если функции f1(t) и f2(t) имеют Z-преобразования:

То выполняется следующее равенство:

Умножение на константу:

Если функция F(z) есть Z, то:

Сдвиг во временной области:

Если функция f(t) имеет Z-преобразование, то:

Где: n – положительное целое число.

Умножение оригинала на экспоненту:

Теорема о начальном и конечном значении:

Если f(t) имеет Z-преобразование F(z) и существует предел: lim F(z) при z→∞, то:

Если функция (1-z -1)F(z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса |z| =1или вне ее на Z-плоскости:

Ограничения метода Z-преобразования:

время квантования должно быть намного меньше определяющей постоянной времени системы;

Z-преобразование выходного сигнала линейной системы определяет значения функции f(t) только в моменты квантования и не содержит информацию о значениях функции f(t) между моментами квантования;

При анализе линейной системы методами Z-преобразования передаточная функция непрерывной системы W(s) должна иметь полюсов, по крайне мере, на один больше, чем нулей (должна быть строго правильной функцией) для отсутствия разрыва в импульсной переходной характеристики при t = 0.

Передаточные функции дискретной системы

Дискретным аналогом оператора дифференцирования непрерывных функций d/dt является оператор сдвига вперед R, определяющийся соотношением:

Инверсией оператора сдвига вперед является оператор сдвига назад R -1:

Оператор R -1 – дискретный аналог оператора интегрирования.

Пусть модель дискретной системы с одним входом и одним выходом представлена разностным уравнением общего вида:

Запишем это уравнение в операторной форме:

Обозначим:

Теперь модель дискретной системы принимает следующий вид:

где: H(R) – дискретная операторная передаточная функция системы.

Пусть дискретная система имеет векторный вход и векторный выход, и описывается матричной моделью состояний :

x(k+1) = M * x(k) + N * U(k)

Применим к этой модели оператор сдвига вперед, получим:

x(k) = (R*E – M) -1 * N * U(k)

y(k) = C * (R*E – M) -1 * N * U(k)

H(R) = C *(R*E – M) -1 * N – матричная дискретная операторная передаточная функция системы.

Применим Z-преобразование к матричной модели состояний, получим:

Z = Z[ M * x(k) + N * U(k)]

Z = Z

z (X(z) – X(0)) = M * X(z) + N * U(z)

где: X(z) = Z; Y(z) = Z; U(z) = Z

Отсюда получим:

X(z) = (z*E – M) -1 *

Y(z) = C *(z*E – M) -1 * z *x(0) + C *(z*E – M) -1 * N * U(z)]

По аналогии с непрерывными системами введем понятие передаточной функции. Пусть дискретная система в начальный момент была в покое: x(0)=0; тогда:

Y(z) = C *(z*E – M) -1 * N * U(z)]

где: H(z) = C *(z*E – M) -1 * N – передаточная функция дискретной системы.

Связь между функциями H(R) и H(z): замена оператора R на переменную z, если в начальный момент система была в покое.

Где: X*(s)- преобразование Лапласа дискретного сигнала

(11)

Если выходной сигнал системы непрерывный, то выражение (11) определяет выходной сигнал Y(z) только в моменты квантования.

W(z) – дискретная передаточная функция линейной системы. Она связывает Z-преобразование входного сигнала X(z) с Z-преобразованием выходного сигнала Y(z) подобно тому, как передаточная функция непрерывной системы W(s) связывает изображения Y(s) и X(s). В выражении (11) Z-преобразование определяет непрерывный сигнал y(t) только в дискретные моменты времени t = kT. В большинстве случаев потеря информации между моментами квантования не имеет значения. В других случаях, если в сигнале y(t) между моментами квантования содержатся колебания большой амплитуды, метод Z-преобразования дает неправильные результаты.

К дискретным системам относятся импульсные системы регулирования и системы, включающие в себя цифровую вычислительную машину (ЦВМ).

Импульсная система регулирования отличается от непрерывной наличием в канале управления импульсного элемента, преобразующего непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной формы.

(t) ИЭ  * (t)

На рисунке импульсный элемент ИЭ установлен в канале управления, который является каналом ошибки. Последовательность импульсов с периодом Т поступает на непрерывную часть системы с передаточной функцией W (S ). Как и ранее g (t ) - входное воздействие, x (t )- регулируемая величина, ε (t )- ошибка САР, f (t )- возмущение.

Форма импульсов, генерируемых импульсным элементом, вообще говоря, оказывает влияние на динамику системы регулирования. Однако, в том случае, когда длительность импульсов мала по сравнению со временем переходного процесса непрерывной части, можно пренебречь влиянием, как формы импульса, так и принципа модуляции (амплитудная или широтная).

В этом случае последовательность реальных импульсов может быть заменена последовательностью δ -функций, модулируемых по площади. Реакция непрерывной части на каждый такой импульс представляет в этом случае ее весовую функцию (импульсную переходную характеристику), умноженную на коэффициент, равный площади импульса.

Огромные вычислительные и логические возможности ЭВМ определяют большие перспективы их использования при управлении объектами. Они вводятся в систему регулирования, когда требуется обрабатывать большие объемы информации и когда на ЭВМ возлагается решение ряда задач с обслуживанием нескольких зависимых или независимых каналов управления.

В наиболее схематическом виде система регулирования с ЭВМ изображена на рисунке.

Здесь g 1 , g 2 ,… g n -входные воздействия.

x 1, x 2, x 3 … x n -регулируемые величины.

u 1, u 2, u 3 … u n - выходные управляющие воздействия.

f 1, f 2, f 3 … f n - возмущения.

Рассмотрение системы со многими регулируемыми величинами представляет собой весьма громоздкую задачу. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда ЭВМ вводится в одиночный контур с одной регулируемой величиной х и одним входным воздействием g, к которому могут быть сведены многие практические задачи.

АЦП γε 1 ЦАП ε 2 ε 3 ε 4

Здесь: АЦП- преобразователь аналог-код;

ЦАП- преобразователь код-аналог;

Т - период дискретности ЭВМ;

W о (s ) - передаточная функция объекта;

D (z )- алгоритм работы ЭВМ;

τ - временное запаздывание, вносимое ЭВМ;

W э (s )- передаточная функция экстраполятора.

Обычно экстраполирующее устройство представляет собой фиксатор, удерживающий выходной сигнал ЭВМ на одном уровне в течение такта работы машины. Этот случай, так называемого экстраполятора нулевого порядка, является наиболее распространенным. В более сложных случаях экстраполятор может внутри такта работы машины изменять выходной сигнал по линейному закону (экстраполятор первого порядка ), по закону квадратичной параболы (экстраполятор второго порядка ) и т.д.

Нелинейность, вносимая входными и выходными преобразователями, может быть представлена в виде нелинейных статических характеристик релейного типа. Они представляют собой многоступенчатую релейную характеристику. Число уровней характеристики m связано с числом двоичных разрядов n зависимостью.

m =2 n -1

Во входных преобразователях число разрядов обычно велико (10 - 20). Поэтому влиянием нелинейности АЦП часто можно пренебречь.

Во входных (ЦАП) преобразователях число разрядов бывает обычно малым, достигая в пределе одного. Это объясняется тем, что выходной преобразователь установлен, по существу, в канале ошибки САР, поэтому нелинейность выходного преобразователя может оказывать влияние на динамику замкнутой САР с ЭВМ. И это надо учитывать.

Во многих случаях представляется возможным пренебречь влиянием нелинейностью выходных преобразователей. Это позволяет свести САР с ЭВМ к линейной импульсной системе и воспользоваться хорошо развитым аппаратом расчета таких систем.

В простейшем случае, когда на ЭВМ возлагается задача определения ошибки = g - x необходимо положить на структурной схеме D (z )=1 . При использовании т.н. дискретной коррекции на ЭВМ возлагается задача улучшения динамических характеристик САР. В этом случае D (z )  1 .

На схеме наиболее простой способ использования ЭВМ в САР. Возможны более сложные случаи комбинированного управления, когда ЭВМ формирует выходной сигнал в функции не только ошибки = g - x но и вводит дополнительно сигнал пропорциональный скорости и ускорению изменения входного воздействия g / (t) и g // (t). Могут встречаться и иные схемы.

Цепей и т. п. В цифровых системах как алгоритмы управления, так и корректирующие средства реализуются программным путем в виде вычислительной процедуры, организованной в соответствии с разностным уравнением (15.7).

Применительно к передаточной функции ЦВМ (15.8) условие физической реализуемости выполняется, если степень полипома ее числителя не превышает степени полинома знаменателя.

При этом цифровая система формально превращается в импульсную, так как их структурные схемы, изображенные на рис. 15.3 и рис. 14.7, будут одинаковыми. Однако фактически эти системы останутся принципиально различными.

сохраняется весь комплекс сложных устройств (ЦВМ,

не является рациональным.

соответствующие рассмотренным в линейным непрерывным алгоритмам. В качестве аналога производной использована не первая разность

Для вычисления интеграла применены известные приближенные методы интегрирования.

При осуществлении дискретной коррекции желаемая передаточная функция 0(2) может быть определена следующим образом. Пусть известна передаточная функция исходной не скорректированной системы

а в процессе решения задачи синтеза определена желаемая передаточная функция разомкнутой системы

Тогда искомая передаточная функция дискретного корректирующего устройства (передаточная функция ЦВМ)

То вместо (15.13) получим:

должно производиться с учетом некоторых ограничений. Во-первых, получающаяся передаточная функция ЦВМ (15.13) или (15.14) должна быть физически реализуемой, т. с. степень полинома ее числителя не должна превышать степени полинома знаменателя. Во-вторых

скорректированная система должна быть грубой, т. е. малое изменение ее параметров не должно приводить к существенному изменению характера протекающих в ней процессов.

Невыполнение условий грубости вызывает неустойчивость системы.

Поясним сказанное примером. Рассмотрим систему (рис. 15.3), передаточная функция непрерывной части которой равна

)

Введем в систему дискретное корректирующее устройство с передаточной функцией

В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы (15.12)

Таким образом, условие грубости нарушено.

остались прежними. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

) привело к существенному изменению поведения системы.

Следует отметить, что даже при идеальной компенсации (что, конечно, практически невозможно) сделанный ранее вывод об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии (15.17) оказывается неверным. Это связано с тем, что передаточные функции получаются при нулевых начальных условиях, а последствия нарушения условии грубости проявляются при ненулевых начальных условиях. Чтобы убедиться в этом, составим разностные уравнения (см. § 14.3), соответствующие передаточным функциям (15.15) и (15.16):

последовательно

неограниченно увеличивается, т. е. замкнутая система неустойчива.

Вместо формул (15.13) и (15.14) может применяться соотношение, связывающее частотные передаточные функции

или соответствующие им логарифмические частотные характеристики

Получить передаточную

К z-преобразованию -

имела степень числителя не больше, чем степень знаменателя.

Поясним сказанное примером. Пусть в цифровой системе с экстраполятором пулевого порядка передаточная функция непрерывной части

соответствует интегрирующему звену второго порядка. Тогда без коррекции имеем

То желаемая частотная передаточная функция

Дискретная частотная передаточная функция требуемого корректирующего звена последовательного типа

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

соответствует границе устойчивости третьего тина и нарушаются условия грубости.

Заметим, что получившаяся частотная передаточная функция корректирующего устройства (15.21) не может быть реализована, вообще говоря, и в непрерывном варианте. Эта функция соответствует бесконечному подъему усиления при росте частоты до бесконечности. При реализации в дискретном варианте эта функция приводит к не

устойчивой программе ЦВМ.

в другом виде (рис. 15.4). Желаемая передаточная функция

Передаточная функция корректирующего устройства в этом случае имеет вид

Этой передаточной функции соответствует устойчивая программа ЦВМ, так как условия грубости не нарушаются.

А показатель колебательности М = 1,5. Дальнейший расчет произведем в соответствии с формулами § 12.6. Базовая частота л. а. х.

Допустимое значение суммы малых постоянных времени для передаточной функции (15.23) равно периоду дискретности:

Примем период дискретности Т= 0,0346 с. Передаточная функция ЦВМ (15.25) имеет вид

С целью повышения точности ЦВМ может быть использована для повышения порядка астатизма системы или реализации комбинированного управления.

для их дискретных апалогов приведены в табл. 15.1.

Поэтому повышение порядка астатизма цифровой системы может быть достигнуто за счет как непрерывных, так и дискретных интеграторов.

будет иметь пульсации.

Исследуем вначале возможность появления пульсаций исходя из физических соображений.

Тогда в режиме

будет изменяться так, как показано па рис. 15.5, а

будут такими же по форме, как па рис. 15.5, а, но при пулевой ошибке.

имеет разрывный характер, что приводит к появлению пульсаций. Таким образом, система может воспроизводить линейно изменяющееся задающее воздействие без пульсаций (но с ошибкой) только при наличии в ней непрерывного интегратора. Для устранения скоростной ошибки можно использовать дополнительно как непрерывные, так и дискретные интеграторы.

будет изменяться так, как показано на рис. 15.5, б, а при наличии двух дискретных интеграторов - как на рис. 15.5, в.

Для исследования возможности появления пульсаций можно использовать также формулу (14.102). Из нее с учетом выражения (14.67) получим

не зависит от е, то пульсации отсутствуют.

В качестве примера рассмотрим систему, передаточная функция непрерывной части которой

при наличии дискретного аналога интегрирующего звена с передаточной функцией

По формулам (14.60) и (14.62) находим:

Передаточные функции разомкнутой системы (15.10) и (15.9) имеют вид

Его изображение

По формуле (15.26) находим установившуюся ошибку системы

Таким образом, при введении дискретного интегратора статическая ошибка полностью устраняется, что соответствует сделанному ранее выводу.

Аналогично предыдущему получаем:

В цифровых системах возможно использование комбинированного управления но задающему или возмущающему воздействиям. При выполнении заданных условий по точности комбинированное управление позволяет снизить требования к основному каналу

Комбинированное управление особенно удобно применять в тех случаях, когда задающее воздействие вычисляется в управляющей ЦВМ. В этом случае на ЦВМ может быть также возложена задача вычисления производных этого воздействия, что

позволяет просто реализовать схемы, аналогичные рассмотренным в § 9.2.Подобное положение возникает, например, при слежении телескопов за планетами, при управлении по счисляемым координатам и т. н. Структурная схема системы комбинированного управления для случая использования дополнительного канала с передаточной функцией Е(г) по задающему воздействию изображена на рис. 15.7.

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом дополнительного канала

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы. Эквивалентная передаточная функция по ошибке

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы

можно получить условие полной

инвариантности

и формула (15.30) может быть приведена к виду

Необходимо использовать упрежденное на один такт значение

Задающего воздействия. Это связано с необходимостью применения прямых разностей, которые в дискретном плане должны здесь заменить процесс дифференцирования. При этом возможны следующие ситуации.

Если ЦВМ вычисляет значение задающего воздействия но некоторым заложенным в нее данным и использует при атом прогнозирование (например, при вычислении текущих координат небесных тел, спутников, ракет и др.), то вычисление будущего значения интересующей величины может быть легко сделано со сдвигом на практически любое число тактов, В этом случае реализация формулы (15.31) в принципе возможна. Однако практические трудности в реализации слишком сложных алгоритмов и ограничения в элементах не дают возможности получить полную инвариантность.

Если ЦВМ вычисляет задающее воздействие не по принципу прогнозирования, а в результате обработки поступающей текущей информации, то точная реализация формулы (15.31) оказывается невозможной. Тогда приходится ограничиться приближенной реализацией формулы (15.30) либо вводить в прямой капал дополнительное запаздывание па один такт. В нервом случае условие полной инвариантности (15.30) нарушается, во втором - вводится постоянное временное запаздывание па один такт в обработку задающего воздействия, что также нарушает условие инвариантности.

Таким образом, при использовании комбинированного управления приходится ориентироваться не на полную инвариантность, а па некоторое, во многих случаях весьма существенное, повышение точности.

Поскольку точность систем управления определяется низкочастотной частью л, а. х., а низкочастотная часть л. а. х. дискретных систем практически сливается ел. а. х. непрерывной части системы, то расчет дискретных систем комбинированного управления осуществляется аналогично непрерывному случаю .