Π£ΡΠ»ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° (Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ). ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° (Π² Π°Π½Π³Π». Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅ Β«LaGrange"s method of undetermined multipliersΒ») Λ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Β«ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉΒ» ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (Ρ.Π΅. ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ)
Λ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ) Π½Π° Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ Β«ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉΒ» ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ
Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Ρ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Ξ» Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° L(Ρ , Ξ»), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΡΡ:
Π³Π΄Π΅ Ξ» Λ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ , Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) ΡΠ²Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ L(x, Ξ»).
ΠΈ
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Β«n + mΒ» ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ):
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (Π₯), ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ L(x, Ξ»), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ.
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° (Ξ») ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠΎΠΉ). Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅Π΅ (ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅/ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅) Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π° ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±: ΠΡΡΡΡ β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, Π° - ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° , Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠ°Ρ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ , ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ :
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ.
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±: ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΡΠ»ΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ
, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅
, ΡΠΎ ΡΠ΅Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
Π’ΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±: Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² Π³Π΅ΡΡΠΈΠ°Π½ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° (ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Π‘ΠΈΠ»ΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ°:
1. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π±ΡΠ» Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ . ΠΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ.
2. ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π±ΡΠ» Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ , Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½sv . ΠΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
ΠΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ k ΡΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΠΈ k ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΎΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΊ Π±Π΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ Π°ΡΡΠ΅Π½Π°Π» Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ. ΠΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ (Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ). ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°
1 ΡΠ°Π³ : ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
ΠΠΏΠ΅ΡΡΠ΄
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΊ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉΡΡΠ°, Π·Π°ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΠΉΡΠ΅.
- Tutorial
ΠΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π½Ρ. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Bond graph (Β«bondΒ» - ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ, Β«graphΒ» - Π³ΡΠ°Ρ). Π ΡΡΡΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°, Ρ Π½Π°ΡΠ΅Π» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠΈ Π’ΠΎΠΌΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ°, Π.Π. ΠΠΎΡΠΎΠ½ΠΈΠ½ Β«ΠΠΠΠΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠ ΠΠΠ₯ΠΠ’Π ΠΠΠΠ«Π₯ Π‘ΠΠ‘Π’ΠΠΒ» 2008 Π³. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° 2 ΡΠΎΠ΄Π°.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°
Π― Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡ ΡΡΠ°ΠΏΡ ΡΠ°ΡΡΡΡΠΎΠ² ΠΈ Ρ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π»Π΅Π³ΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ , ΡΠ΅ΠΌ 10 ΡΠ°Π· ΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ. ΠΠ°ΠΊ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ, Π² ΡΡΡΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅, ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°, Π΄Π° ΠΈ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ΅Π½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΡΠ΅Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠΊΠ³ΡΠ°ΡΠ½Π΄Π°. ΠΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° (ΡΡΡΡΡ Π² Π’ΡΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ, ΠΡΠ°Π»ΠΈΡ), Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π» ΡΡΡΡΠΊΡΡ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΡΠΎΠ², ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΆΠ΅Π»ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ Π·Π° Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°. ΠΠ°ΠΆΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² Β«Π₯Π°ΡΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΌ Π°Π²ΠΈΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΡΡΠ΅Β», Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π±ΡΠ» ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌ, ΠΈ Π½ΠΈΠΊΡΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠ» ΡΠ΅Π±Ρ Π² ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅. ΠΠΎΡ ΡΡΠΎΠΌΡ Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΠ» Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠΊΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΊ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅ Π΅ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°, Π½ΠΎ Π² Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.ΠΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
- ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°-ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° : Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ» (force) ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² (moments)
- ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° : ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ (energies)
- ΠΠΎΠ½Π΄-Π³ΡΠ°Ρ : ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (power) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°. ΠΠ°ΡΡΠ° Ρ ΠΏΡΡΠΆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π΅ΠΌΠΏΡΠ΅ΡΠΎΠΌ. ΠΡΠ΅Π½Π΅Π±ΡΠ΅Π³Π°Π΅ΠΌ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ ΡΡΠΆΠ΅ΡΡΠΈ.
Π ΠΈΡ 1 . ΠΠ°ΡΡΠ° Ρ ΠΏΡΡΠΆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π΅ΠΌΠΏΡΠ΅ΡΠΎΠΌ
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌ:
- Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΠΠ‘Π) ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΊ R0(i0,j0,k0) . ΠΠ΄Π΅? ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ΅ΠΌ Π² Π½Π΅Π±ΠΎ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ³Π°Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΉΡΠΎΠ½ΠΎΠ² Π² ΠΌΠΎΠ·Π³Ρ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΠ‘Π Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»Π° Π1.
- ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»Π° Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΎΠΉ (Ρ Π½Π°Ρ Π1 R1(i1,j1,k1) ), ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ, ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ ΠΠ‘Π
- ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ q_i (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅), Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°, Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ j
Π ΠΈΡ 2 . ΠΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
Π ΠΈΡ 3 . ΠΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π° Π1
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ (Π‘) ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ (Π ) ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (D) Π΄Π»Ρ Π΄Π΅ΠΌΠΏΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ:
Π ΠΈΡ 4 . ΠΠΎΠ»Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ
Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Ρ, Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 0.
Π ΠΈΡ 5 . Π Π°ΡΡΠ΅Ρ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
Π ΠΈΡ 6 . Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠΈΠ°Π½
ΠΠ΅Π»ΡΡΠ° W_i
ΡΡΠΎ Π²ΠΈΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅:
Π ΠΈΡ 7 . Π Π°ΡΡΠ΅Ρ Π²ΠΈΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ
ΠΠ΄Π΅ Π΄Π΅Π»ΡΡΠ° q_1 Π²ΠΈΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
Π ΠΈΡ 8 . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΡΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π΅ΠΌΠΏΡΠ΅ΡΠΎΠΌ
ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ»ΡΡ. ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°-ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±ΡΠ» Π±Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅. ΠΠ»Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅Π»Π°, ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³Π° Π½Π° ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π»Π΅Π³ΡΠ΅.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Bond graph
Π‘ΡΠ°Π·Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡ ΡΠ°ΠΊ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ Π² bond-graph Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π΅ΠΌΠΏΡΠ΅ΡΠΎΠΌ:Π ΠΈΡ 9 . Bond-graph ΠΌΠ°ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΡΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄Π΅ΠΌΠΏΡΠ΅ΡΠΎΠΌ
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Ρ Π²Π°ΡΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΠΎ Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π·Π°ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΠ²Π°Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Ρ ( Bond Graph Methodology ) ΠΈΠ»ΠΈ (ΠΠΎΡΠΎΠ½ΠΈΠ½ Π.Π. ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ Π°ΡΡΠΎΠ½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ: ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅. β Π’ΠΎΠΌΡΠΊ: ΠΠ·Π΄-Π²ΠΎ Π’ΠΎΠΌΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ°, 2008 ).
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ².
Bond graph ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π΅ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ, Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ, Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ) Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ , ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π΅ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ (ΡΠΌ. ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ).
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅Π·Π΄Π΅ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅. Π ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ - ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° - f Β» Π½Π° Β«ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡ - e Β».
Π£ΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅ (Π°Π½Π³Π». effort ) Π² ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (e), Π² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ - ΡΠΈΠ»Π° (F) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ (T), Π² Π³ΠΈΠ΄ΡΠ°Π²Π»ΠΈΠΊΠ΅ β Π΄Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (p).
ΠΠΎΡΠΎΠΊ (Π°Π½Π³Π». flow ) Π² ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΊ (i), Π² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ - ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ (v) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ (omega), Π² Π³ΠΈΠ΄ΡΠ°Π²Π»ΠΈΠΊΠ΅ β ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ (Q).
ΠΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ:
Π ΠΈΡ 10 . Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅
Π ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ bond-graph ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ΡΠ²ΡΠ·ΡΡ (Π°Π½Π³Π». bond
). ΠΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ bond-graph
ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°Ρ-ΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ, ΡΠ²ΡΠ·Π½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°Ρ
. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π±Π»ΠΎΠΊ-Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ
ΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ Π² ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ (ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ bond-graph):
Π ΠΈΡ 11 . ΠΠ»ΠΎΠΊ-Π΄ΠΈΠ°ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠΈΡΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΠ΄Π°Π΅Ρ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΠΎΡΠΌΠΎΡΠΊΠΈ (ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠ΅Π»Ρ), Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΌΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΊ ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΠΌΠ° (Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΎΡ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΊ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΡ). Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π° Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (effort ) β Π²Ρ ΠΎΠ΄, ΡΠΎΠΊ (flow ) β Π²ΡΡ ΠΎΠ΄.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠΎΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°? ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ. Π’ΠΎΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΊ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΠ΅Π»Ρ, Π° Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠΊ (flow ) β Π²Ρ ΠΎΠ΄, Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (effort ) β Π²ΡΡ ΠΎΠ΄.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π² ΠΌΠ΅Ρ
Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅. Π‘ΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΡ.
Π ΠΈΡ 12 . Π‘ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠ΅
ΠΠ»ΠΎΠΊ-ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ:
Π ΠΈΡ 13 . ΠΠ»ΠΎΠΊ-Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π‘ΠΈΠ»Π° (effort
) β Π²Ρ
ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΡ. (Π‘ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠ΅)
ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°:
ΠΠ°ΡΡΠ° ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ:
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ (ΡΠΈΠ»Π° - effort ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½, ΡΠΎ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ (ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ - flow ) β Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ .
Π§ΡΠΎ Π±Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡ, Π³Π΄Π΅ Π²Ρ
ΠΎΠ΄, Π° Π³Π΄Π΅ Π²ΡΡ
ΠΎΠ΄, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ (ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ
(causality
). ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ: ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ»Π° β ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°, Π° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ - ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΡ - ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΡ
ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ.
Π ΠΈΡ 14 . ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ
ΠΡΠ° Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅ (effort
) ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ (flow
). Π ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊ:
Π ΠΈΡ 14 . ΠΡΠΈΡΠΈΠ½Π½Π° ΡΠ²ΡΠ·Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΡ
ΠΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π° Π²Ρ ΠΎΠ΄ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΡ - ΡΠΈΠ»Π° , Π° Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ - ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ . ΠΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π±Ρ Π½Π΅ Π·Π°Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ (ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ) ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ).
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π°Ρ
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π²ΡΡΠ΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π² ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ bond-graph. ΠΠ½ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ (Ρ ) ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (q ) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:
Π ΠΈΡ 15 . Π‘Π²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ
Π ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅ :
ΠΡΡ
ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Π€Π°ΡΠ°Π΄Π΅Ρ, Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ
ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊ.
Π Π‘ΠΈΠ»Π° ΡΠΎΠΊΠ° - ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π·Π°ΡΡΠ΄Π° Q, ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ t ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½:
ΠΠ· 2 Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°, Π‘ΠΈΠ»Π°
β ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°
Π ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ - ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ :
ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ
ΠΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ.Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ :
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ
ΠΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π±ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ°. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½Π΅: ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡ
β ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
, ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ°
β ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΡΠΎΠΊΠ°
. ΠΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅.
Π ΠΈΡ 16 . ΠΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ R
β Π΄ΠΈΡΡΠΈΠΏΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ I
β ΠΈΠ½Π΅ΡΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ C
β Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠΎΠ², ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° R,C,I ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. Π’ΠΠΠ¬ΠΠ Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ!
Π§Π΅ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ :
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° ΡΡΠ°Π½ΡΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΎΡ ΠΈ Π³ΠΈΡΠ°ΡΠΎΡ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ bond-graph Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠ·Π»ΠΎΠ²:
![](https://i2.wp.com/habrastorage.org/files/c6c/047/93e/c6c04793e8ec464cbed826f8eb04eea6.png)
ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΠ»ΠΈ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ°ΠΏΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ bond-graph:
- ΠΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ
- ΠΡΠΎΠΉΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ·Π»Π°ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ° 1
- ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² I ΠΏΡΠΈΡΠ²ΠΎΠΈΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ (ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ), Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π‘ ΠΏΡΠΈΡΠ²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ (ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°)
- ΠΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ 2
- ΠΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² R
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΏΡ, Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ bond-graph.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ bond-graph Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Se ΠΈ ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ.
ΠΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ! Π‘ΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, R ΠΈ L ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ Π² Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠΎΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ Π² ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ β ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ·Π΅Π» ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ? ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ 1-ΡΠ·Π΅Π». ΠΡΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ ΠΊ 1-ΡΠ·Π»Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ, ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ - R) ΠΈ ΠΈΠ½Π΄ΡΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ - I).
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΈ, Π·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅. 0-ΡΠ·Π΅Π» ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΈΠΊΡΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡΡ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π‘) ΠΈ ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ R) ΠΊ 0-ΡΠ·Π»Ρ.
Π£Π·Π»Ρ 1 ΠΈ 0 ΡΠΎΠΆΠ΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π³ΡΠ°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ°.
- ΠΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡ), ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ β Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. Π‘ΡΠ°Π²ΠΈΠΌ.
- ΠΠ°Π»Π΅Π΅ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ I, ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΡΡ. Π‘ΡΠ°Π²ΠΈΠΌ
- ΠΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ 1-ΡΠ·Π»Π°. ΠΡΡΡ
- 0-ΡΠ·Π΅Π» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Ρ ΠΎΠ΄ ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ. Π£ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½Π° Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ΠΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π‘ ΠΈΠ»ΠΈ I. ΠΠ°ΡΠ»ΠΈ. Π‘ΡΠ°Π²ΠΈΠΌ
- ΠΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ
![](https://i2.wp.com/habrastorage.org/files/fbd/01f/e0b/fbd01fe0bbd849428a50bd806459664c.png)
ΠΠΎΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅. Bond-graph ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½. Π£ΡΠ°, Π’ΠΎΠ²Π°ΡΠΈΡΠΈ!
ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π·Π° ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Ρ 3 ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ. Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π° Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ β Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°. ΠΡ ΠΎΠ΄ ΠΈ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡΡΡ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ.
ΠΡΠΎΠ½ΡΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² C,R,I.
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ, ΠΈΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ 2, p3 ΠΈ q5. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ:
ΠΠΎΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Ρ Π³ΠΎΡΠΎΠ²Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. Π‘ΡΠ°Π·Ρ Ρ ΠΎΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅Π½ΠΈΡΡΡΡ Π·Π° ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠΎ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ°ΡΡ
Π Π΅ΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. Π― ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅Π². ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠ΅, Π»Π΅Π³ΡΠ΅.
Π ΠΌΠ°ΡΠ±Π°Π»Π΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΠ±Π΅ ΠΌΠ°Ρ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΈ bond-graph. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅: ΠΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . Π£ΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=f(x,y)$ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_0(x_0;y_0)$ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½ΡΡΡΠΉ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ $x$ ΠΈ $y$ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ $\varphi (x,y)=0$.
ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Β«ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉΒ» ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ $\varphi(x,y)=0$. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄ΡΡΠ³ΡΡ, ΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ $y=\psi(x)$, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² $y=\psi(x)$ Π² $z=f(x,y)$, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π΅Π½, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ $\lambda$ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°). ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
$$ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right. $$
ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊ $d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2$. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $d^2F > 0$, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $z=f(x,y)$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ $d^2F < 0$, ΡΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ.
ΠΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°. ΠΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: $\varphi_{x}^{"}dx+\varphi_{y}^{"}dy=0$, $dy=-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx$, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
$$d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dx\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)+F_{yy}^{""}\left(-\frac{\varphi_{x}^{"}}{\varphi_{y}^{"}}dx\right)^2=\\ =-\frac{dx^2}{\left(\varphi_{y}^{"} \right)^2}\cdot\left(-(\varphi_{y}^{"})^2 F_{xx}^{""}+2\varphi_{x}^{"}\varphi_{y}^{"}F_{xy}^{""}-(\varphi_{x}^{"})^2 F_{yy}^{""} \right)$$
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ (ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ΅) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
ΠΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $\left| \begin{array} {cc} F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|$, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³Π΅ΡΡΠΈΠ°Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ $H > 0$, ΡΠΎ $d^2F < 0$, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ $H < 0$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ $d^2F > 0$, Ρ.Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=f(x,y)$.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$. ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ\ΡΠΊΡΡΡΡ
$$ H=-\left|\begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right| $$
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π΅ΡΠ»ΠΈ $H > 0$, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, Π° ΠΏΡΠΈ $H < 0$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=f(x,y)$. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π½ΡΠ°Π½ΡΡ.
ΠΠ»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ
- Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial F}{\partial y}=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end{aligned} \right.$
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ
Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ
ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ²:
- Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$ ΠΈ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ
- Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ $d^2F$
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ n ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $n$ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ΠΈ $m$ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΊΠ°ΠΊ $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
$$\left\{\begin{aligned} & \frac{\partial F}{\partial x_i}=0; (i=\overline{1,n})\\ & \varphi_j=0; (j=\overline{1,m}) \end{aligned} \right.$$
ΠΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ°Π½Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠ° $d^2F$. ΠΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $d^2F > 0$, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ $d^2F < 0$, - ΡΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $\left| \begin{array} {ccccc} \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{1}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_1} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}^{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{2}\partial x_{n}}\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{3} \partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}^{2}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{3}\partial x_{n}}\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ldots\\ \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{1}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{2}} & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}\partial x_{3}} &\ldots & \frac{\partial^2F}{\partial x_{n}^{2}}\\ \end{array} \right|$, Π²ΡΠ΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ $L$ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ, Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΡΡΠΈΠ°Π½ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:
- ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² $H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}$ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $L$ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ $(-1)^m$, ΡΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
- ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠΎΠ² $H_{2m+1},\; H_{2m+2},\ldots,H_{m+n}$ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΡΡΡΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡΠ° $H_{2m+1}$ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° $(-1)^{m+1}$, ΡΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ β1
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)=x+3y$ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ $x^2+y^2=10$.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²Π°: ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ $z=x+3y$ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠΎΠΌ $x^2+y^2=10$.
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π΅ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $z(x,y)=x+3y$ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π°ΡΡΡΠ΄Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac{\partial F}{\partial x}=1+2\lambda x; \frac{\partial F}{\partial y}=3+2\lambda y. $$
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
$$ \left \{ \begin{aligned} & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end{aligned} \right. $$
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ $\lambda=0$, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ: $1=0$. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ $\lambda\neq 0$. ΠΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ $\lambda\neq 0$ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: $x=-\frac{1}{2\lambda}$, $y=-\frac{3}{2\lambda}$. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
$$ \left(-\frac{1}{2\lambda} \right)^2+\left(-\frac{3}{2\lambda} \right)^2-10=0;\\ \frac{1}{4\lambda^2}+\frac{9}{4\lambda^2}=10; \lambda^2=\frac{1}{4}; \left[ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2};\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}. \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} & \lambda_1=-\frac{1}{2}; \; x_1=-\frac{1}{2\lambda_1}=1; \; y_1=-\frac{3}{2\lambda_1}=3;\\ & \lambda_2=\frac{1}{2}; \; x_2=-\frac{1}{2\lambda_2}=-1; \; y_2=-\frac{3}{2\lambda_2}=-3.\end{aligned} $$
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac{1}{2}$ ΠΈ $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac{1}{2}$. ΠΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅: $M_1(1;3)$ ΠΈ $M_2(-1;-3)$. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.
$$ \varphi_{x}^{"}=2x;\; \varphi_{y}^{"}=2y;\; F_{xx}^{""}=2\lambda;\; F_{xy}^{""}=0;\; F_{yy}^{""}=2\lambda.\\ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right| $$
Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_1(1;3)$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end{array} \right|=40 > 0$, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_1(1;3)$ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $z(x,y)=x+3y$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\max}=z(1;3)=10$.
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_2(-1;-3)$ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ: $H=8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end{array} \right|= 8\cdot\left| \begin{array} {ccc} 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end{array} \right|=-40$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $H < 0$, ΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_2(-1;-3)$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)=x+3y$, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ΠΡΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. ΠΠ°Π±Ρ Π½Π΅ Π·Π°Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡ ΡΠ΅ΠΊΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΡΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ\ΡΠΊΡΡΡΡ
$$ H=8\cdot\left|\begin{array}{ccc}0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end{array}\right| =8\cdot\left(-\lambda{y^2}-\lambda{x^2}\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Π ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅, ΡΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ $H$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ $M_1$ ΠΈΠ»ΠΈ $M_2$ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎ $y^2+x^2>0$. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°ΠΊ $H$ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π·Π½Π°ΠΊΡ $\lambda$. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°:
$$ \begin{aligned} &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\\ &H(M_2)=-8\cdot\frac{1}{2}\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end{aligned} $$
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ $M_1(1;3)$ ΠΈ $M_2(-1;-3)$ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΈ Π±Π΅Π· ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ $d^2F$ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅:
$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=2\lambda \left(dx^2+dy^2\right) $$
ΠΡΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ $dx^2$ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ $dx$, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΉ Π² Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Ρ.Π΅. $\left(dx \right)^2$. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: $dx^2+dy^2>0$, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈ $\lambda_1=-\frac{1}{2}$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ $d^2F < 0$. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_1(1;3)$ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_2(-1;-3)$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)=x+3y$. ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° $d^2F$ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΎΡΡ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $dx$ ΠΈ $dy$, ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ $d^2F$ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ. Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° $d^2F$ ΡΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $dx$ ΠΈ $dy$.
ΠΡΠ²Π΅Ρ : Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(-1;-3)$ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\min}=-10$. Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(1;3)$ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\max}=10$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ β2
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ $x+y=0$.
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± (ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°)
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² $\varphi(x,y)=x+y$ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2-xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac{\partial F}{\partial x}=8x-y+\lambda; \; \frac{\partial F}{\partial y}=9y^2-x+\lambda.\\ \left \{ \begin{aligned} & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\lambda=0; \\ & x+y=0. \end{aligned} \right. $$
Π Π΅ΡΠΈΠ² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ΠΈ $x_2=\frac{10}{9}$, $y_2=-\frac{10}{9}$, $\lambda_2=-10$. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ: $M_1(0;0)$ ΠΈ $M_2 \left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9} \right)$. ΠΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ $H$.
$$ H=\left| \begin{array} {ccc} 0 & \varphi_{x}^{"} & \varphi_{y}^{"}\\ \varphi_{x}^{"} & F_{xx}^{""} & F_{xy}^{""} \\ \varphi_{y}^{"} & F_{xy}^{""} & F_{yy}^{""} \end{array} \right|= \left| \begin{array} {ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end{array} \right|=-10-18y $$
Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 < 0$, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ $M_1(0;0)$ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 > 0$, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\max}=\frac{500}{243}$.
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ $d^2F$:
$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=8dx^2-2dxdy+18ydy^2 $$
ΠΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ $x+y=0$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $ d^2F \Bigr|_{M_1}=10 dx^2 > 0$, ΡΠΎ $M_1(0;0)$ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, $d^2F \Bigr|_{M_2}=-10 dx^2 < 0$, Ρ.Π΅. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±
ΠΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ $x+y=0$ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: $y=-x$. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² $y=-x$ Π² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $x$. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΡ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
$$ u_{x}^{"}=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac{10}{9}; \; y_2=-x_2=-\frac{10}{9}. $$
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $M_1(0;0)$ ΠΈ $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9}\right)$. ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΡΡΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ $u_{xx}^{""}$ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠ° $u_{x}^{"}$ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ $u_{xx}^{""}$:
$$u_{xx}^{""}=-18x+10;\\ u_{xx}^{""}(M_1)=10;\;u_{xx}^{""}(M_2)=-10.$$
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $u_{xx}^{""}(M_1)>0$, ΡΠΎ $M_1$ - ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $u(x)$, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ $u_{\min}=u(0)=0$. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $u_{xx}^{""}(M_2)<0$, ΡΠΎ $M_2$ - ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $u(x)$, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $u(x)$ ΠΏΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)$, Ρ.Π΅. Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $u(x)$ ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z(x,y)$.
ΠΡΠ²Π΅Ρ : Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(0;0)$ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\min}=0$. Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\max}=\frac{500}{243}$.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° $d^2F$.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ β3
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=5xy-4$, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ $x$ ΠΈ $y$ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$.
Π‘ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1 \right)$. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°:
$$ F_{x}^{"}=5y+\frac{\lambda x}{4}; \; F_{y}^{"}=5x+\lambda y.\\ \left \{ \begin{aligned} & 5y+\frac{\lambda x}{4}=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end{aligned} \right. $$
ΠΡΠ΅ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ $x > 0; \; y > 0$ (ΡΡΠΎ ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠ΅Π½ΠΎ Π² ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ). ΠΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ $\lambda=-\frac{5x}{y}$ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: $5y-\frac{5x}{y}\cdot \frac{x}{4}=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ $x=2y$ Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ: $\frac{4y^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $y=1$, ΡΠΎ $x=2$, $\lambda=-10$. Π₯Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(2;1)$ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΊΠ° $d^2F$.
$$ F_{xx}^{""}=\frac{\lambda}{4}; \; F_{xy}^{""}=5; \; F_{yy}^{""}=\lambda. $$
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1=0$, ΡΠΎ:
$$ d\left(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}-1\right)=0; \; d\left(\frac{x^2}{8} \right)+d\left(\frac{y^2}{2} \right)=0; \; \frac{x}{4}dx+ydy=0; \; dy=-\frac{xdx}{4y}. $$
Π ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠ΅, Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $x=2$, $y=1$ ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° $\lambda=-10$, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ² ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ:
$$ F_{xx}^{""}=\frac{-5}{2}; \; F_{xy}^{""}=-10; \; dy=-\frac{dx}{2}.\\ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=-\frac{5}{2}dx^2+10dx\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)-10\cdot \left(-\frac{dx}{2} \right)^2=\\ =-\frac{5}{2}dx^2-5dx^2-\frac{5}{2}dx^2=-10dx^2. $$
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ Π½Π° ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ. Π ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π»ΡΡΡΠ΅ $d^2F$ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ:
$$ d^2 F=F_{xx}^{""}dx^2+2F_{xy}^{""}dxdy+F_{yy}^{""}dy^2=\frac{\lambda}{4}dx^2+10\cdot dx\cdot \frac{-xdx}{4y} +\lambda\cdot \left(-\frac{xdx}{4y} \right)^2=\\ =\frac{\lambda}{4}dx^2-\frac{5x}{2y}dx^2+\lambda \cdot \frac{x^2dx^2}{16y^2}=\left(\frac{\lambda}{4}-\frac{5x}{2y}+\frac{\lambda \cdot x^2}{16y^2} \right)\cdot dx^2 $$
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
$$ d^2 F=\left(\frac{-10}{4}-\frac{10}{2}-\frac{10 \cdot 4}{16} \right)\cdot dx^2=-10dx^2. $$
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $d^2F=-10\cdot dx^2 < 0$, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° $(2;1)$ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $z=5xy-4$, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ $z_{\max}=10-4=6$.
ΠΡΠ²Π΅Ρ : Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(2;1)$ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, $z_{\max}=6$.
Π ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠ’ΠΠ
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ², ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΉ Π² 1759 Π. ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ΅ΠΌ (J. Lagrange). ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π°
ΠΎΡ ΠΏΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
Ρ
0 , x
1 ,..., Ρ
ΠΏ
.
Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»Ρ k
Ρ
Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΊ ΠΊΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ. Π²ΠΈΠ΄Ρ
ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
. Π. ΠΌ. ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ (1) ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
1) ΠΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ g,
Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
Π³Π΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΠ° f 1 (Ρ
).Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x g .
2) ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ Π½ΠΎ
ΡΠΎ
![](https://i1.wp.com/dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031301-85.jpg)
Π³Π΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΠ° f 2 (Ρ
).Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
x g
ΠΈ x h .
Π€ΠΎΡΠΌΡ, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π² (4), Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° (3) ΠΈ (4) ΡΠΎΡΠΌΠ° (1) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π³ΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ
Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ
ΡΠΎΡΠΌ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3) ΠΈ (4) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
![](https://i0.wp.com/dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031301-86.jpg)
ΠΠΈΡ.
: Π Π° Π½ Ρ ΠΌ Π° Ρ
Π΅ Ρ Π€. Π .,
Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ, 2 ΠΈΠ·Π΄., Π., 1966; Π Ρ Ρ ΠΎ Ρ Π. Π., ΠΡΡΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, 11 ΠΈΠ·Π΄., Π., 1975; ΠΠ»Π΅ΠΊΡΠ°Π½Π΄ΡΠΎΠ² Π. Π‘., ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ..., Π., 1968. Π. Π. ΠΡΠΎΡΠΊΡΡΡΠΊΠΎΠ².
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ. - Π.: Π‘ΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ . Π. Π. ΠΠΈΠ½ΠΎΠ³ΡΠ°Π΄ΠΎΠ² . 1977-1985 .
Π‘ΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ "ΠΠΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠΠ’ΠΠ" Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡΡ :
ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ - ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ β ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΄Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (x*, Ξ»*) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°., ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎβ¦ β¦ ΠΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΡΡ
ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄
- ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΄Π° ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (x*, ?*) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°., ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ xi ΠΈ?i . Π‘ΠΌ. ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠΈΠ°Π½. }